设n阶矩阵A，B有相同的特征值，则A，B一定相似。
设n阶矩阵A，B有相同的特征值，则A，B一定相似。
参考答案和解析
证 证法1 若0为AB的特征值，则|AB|=0，从而有|BA|=|B||A|=|A||B|=|AB|=0，因此，0也是BA的特征值. 若λ 0 为AB的非零特征值，则有x≠0，使ABx=λ 0 x，由此可知Bx≠0，用B左乘ABx=λ 0 x的两端，得 (BA)(Bx)=λ 0 (Bx) 由于列向量Bx≠0，故λ 0 是BA的一个特征值且Bx为对应的一个特征向量. 所以，AB的特征值都是BA的特征值，同理可证BA的特征值也都是AB的特征值.因此，AB与BA有相同的特征值. 证法2 可见AB与BA的属于同一特征值的特征向量是不同的.
相关考题：
设A为n阶实对称矩阵,则(). A.A的n个特征向量两两正交B.A的n个特征向量组成单位正交向量组C.A的k重特征值λ0,有r(λ0E-A)=n-kD.A的k重特征值λ。，有r(λ0E-A)=k
设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。A、α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量B、α是矩阵的属于特征值的特征向量C、α是矩阵A*的属于特征值的特征向量D、α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
单选题设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。Aα是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量Bα是矩阵的属于特征值的特征向量Cα是矩阵A*的属于特征值的特征向量Dα是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量