如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60。,F在AC上,且AE=AF.(1)证明:B,D,H,E四点共圆;(2)证明:CE平分∠DEF.
如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60。,F在AC上,且AE=AF.
(1)证明:B,D,H,E四点共圆;
(2)证明:CE平分∠DEF.
(1)证明:B,D,H,E四点共圆;
(2)证明:CE平分∠DEF.
参考解析
解析:证明:(1)在△ABC中,因为∠B=60°,
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD,CE是角平分线.
所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°.所以B,D,H,E四点共圆.
(2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°,
由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°,由已知AE=AF,AD平分∠EAF,
可得EF⊥AD,所以∠CEF=30°.所以CE平分∠DEF.
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD,CE是角平分线.
所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°.所以B,D,H,E四点共圆.
(2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°,
由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°,由已知AE=AF,AD平分∠EAF,
可得EF⊥AD,所以∠CEF=30°.所以CE平分∠DEF.
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