填空题设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5,则μ=____。

填空题
设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5,则μ=____。

参考解析

解析:
令Y=(X-μ)/σ,则Y服从标准正态分布N(0,1)。
该二次方程无实根的充要条件为4-X<0,根据题意,有:
0.5=P{X>4}=1-P{X≤4}=1-P{(X-μ)/σ≤(4-μ)/σ}=1-P{Y≤(4-μ)/σ}=1-Φ[(4-μ)/σ],即Φ[(4-μ)/σ]=0.5,故(4-μ)/σ=0,μ=4。

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