已知四棱锥P-ABCD底面为直角梯形,AB平行于DC,∠DAB=90°,PA垂直于底面ABCD,PA=AD=DC=AB=1,M为PB中点。 (1)求证:面PAD⊥面PCD; (2)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。

已知四棱锥P-ABCD底面为直角梯形,AB平行于DC,∠DAB=90°,PA垂直于底面ABCD,PA=AD=DC=



AB=1,M为PB中点。
(1)求证:面PAD⊥面PCD;
(2)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。


参考解析

解析:(1)∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂线定理,得CD⊥PD。
因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD。
又CD面PCD,∴面PAD⊥面PCD。
(2)作AN⊥CM,垂足为N,连结BN。
在Rt△PAB中,∵M是斜边PB中点,
∴AM=MB.

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