数学奥林匹克高中训练题88
(一)单项选择题(共8分,每小题2分)
1.下列词语中加点粗的注音有错误的一项是
A.寒噤(jìn) 禁锢(ɡù) 广袤无垠(mào)
B.琐屑(xiāo) 吊唁(yán) 毛骨悚然(sǒnɡ)
C.妖娆(ráo) 愕然(è) 孜孜不倦(zī)
D.颓唐(tuí) 恻隐(cè) 万恶不赦(shè)
对任何一棵二叉树,若n0,n1,n2分别是度为0,1,2的结点的个数,则n0=(41)。
A.n1+1
B.n1+n2
C.n2+1
D.2n1+1
解析:这是二叉树的性质。
已知递归函数f(n)的功能是计算1+2+…+n,且n≥1,应采用的代码段是______。
A.if n>1 then return 1 else return n+f(n-1)
B.if n>1 then return 1 else return n+f(n+1)
C.if n<1 then return 0 else return n+f(n-1)
D.if n<1 then return 0 else return n+f(n+1)
解析:递归函数的目的是执行一系列调用,一直到达某一点,序列终止。为了保证递归函数正常执行,应该遵守下面的规则:
(1)每当一个递归函数被调用时,程序首先应该检查其基本的条件是否满足,例如,某个参数的值等于零,如果是这种情形,函数应停止递归。
(2)每当函数被递归调用时,传递给函数一个或多个参数,应该以某种方式变得“更简单”。即这些参数应该逐渐靠近上述基本条件。例如,一个正整数在每次递归调用时会逐渐变小,以至最终其值能到达零。
在本题中,f(n)的功能是解决1+2+…+n的累加问题,可用下面的递归公式表示f(n):
f(n)=0 (n=0)
f(n)=n+f(n-1) (n1)
因此可知,f(n)应采用的代码段为:
if n1
then return 0
else return n+f(n-1)。
设n位二进制数(从00…0到11…1)中不含连续三位数字相同的数共有F(n)个,显然F(1)=2,F(2)=4。以下选项中有一个公式是正确的,通过实例验证选出的是( )。
A.F(n)=2n (n≥1) B.F(n)=n2-n+2 (n≥1) C.F(n)=F(n-1)+4n-6 (n≥2) D.F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
B.(-1)n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22
数学奥林匹克高中训练题 (88)第 一 试一、 选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分 )1. 已知A = n N| 1 n 2 006且 ( n +4,30) 1.则 A) = ( ) .(A) 1 605 (B) 1 537 (C) 1 471 (D) 1 = 1 ,2 ,3 ,4 , f A A . 则没有自对应的映射 f 的个数为 ( ) .(A) 45 (B) 50 (C) 81 (D) 843. 下面给出 4 个命题 :(1)在 , + - 恒为正值 ;(2) 在 , + + 恒为正值 ;(3) 在 , + + 恒为正值 ;(4) 在非直角 , + + 恒为正值 正确的命题有 ( ) 个 .(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 足 1 =0 ( n N+ ) . 下面给出 5 个判断 : 0 n 0) ,外椭圆 方程为 1 ( a b 0) . 过椭圆 的任一点 M 作 切线交椭圆 P、 Q 两点 ,过 P、 Q 作椭圆切线 . 则此两切线的交点 R 的轨迹方程为 ( ) .(A) 1 (B)1(C) 1 (D) 16. 已知点 P( x , y) 在曲线 C :( 2 + 1上 . 则 | ( O 为坐标原点 ) 的最小值为( ) .(A) 12 (B) 22 (C) 32 (D) 1二、 填空题 (每小题 9 分 ,共 54 分 )f ( x) = x + x + x +x + x + x 的 值 域 知
B.(-1)n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22
B.F(n)=n2-n+2 (n≥1)
C.F(n)=F(n-1)+4n-6 (n≥2)
D.F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
当n=3时,除3位全0或全1外,其他情况都是不含连续3位数字相同,因此F(n)=8-2=6。当n=4时,除0001、1000、0000、1110、0111、1111外,其他情况都不含连续3位数字相同,因此F(n)=16-6=10。
供选答案A、B、C、D中,对于n=1~4,F(n)的值如下:
因此,可以选出公式D是正确的。
当n=5时,除000**、1000*、01000、11000;111**、0111*、00111、10111外,其他情况都是不含连续3位数字相同,因此,F(n)=32-16=16。
进一步计算表明,n≥3时,n位二进制数中不含连续三位数字相同的数中,末两位数字不同的数有F(n-1)个,末两位数字相同的数有F(n-2)个。
B.(-1)n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22
B.(-1)n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22
B.(-1)n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22
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