设A，B 均为3阶矩阵，A，B 的分块矩阵分别为A=[A1,A2,A3]，B=[B1，B2，B3],k是一个常数。下列式子中，（）不成立。A．AB=[AB1，AB2，AB3]B．AB=[A1B，A2B，A3B]C．kA=[kA1，kA2，kA3]D．A+B=[A1+B1，A2+B2，A3+B3]
设A，B 均为3阶矩阵，A，B 的分块矩阵分别为A=[A1,A2,A3]，B=[B1，B2，B3],k是一个常数。下列式子中，（）不成立。
A．AB=[AB1，AB2，AB3]
B．AB=[A1B，A2B，A3B]
C．kA=[kA1，kA2，kA3]
D．A+B=[A1+B1，A2+B2，A3+B3]
参考答案和解析
(1)因为矩阵A的各行元素之和均为3所以 则由特征值和特征向量的定义知λ＝3是矩阵A的特征值α＝(111) T 是对应的特征向量．对应λ＝3的全部特征向量为kα其中k为不为零的常数． 又由题设知Aα 1 ＝0Aα 2 ＝0即Aα 1 ＝0.α 1 Aα 2 ＝0.α 2 而且α 1 α 2 线性无关所以λ＝0是矩阵A的二重特征值α 1 α 2 是其对应的特征向量对应λ＝0的全部特征向量为k 1 α 1 ＋k 1 k 2 其中k 1 k 2 为不全为零的常数． (2)因为A是实对称矩阵所以α与α 1 α 2 正交所以只需将α 1 α 2 正交． 取β 1 ＝α 1 。再将αβ 1 β 2 单位化得 令Q＝[η 1 η 2 η 3 ]则Q －1 ＝Q T 由A是实对称矩阵必可相似对角化得 [分析]由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法，可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组Ax＝0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是零特征值所对应的特征向量．将A的线性无关的特征向量止交化可得正交矩阵Q．[评注]本题涉及求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，因此要想方设法将题设条件转化为特征值与特征向量定义Ax＝λx的形式．
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