立体几何问题到底建系好，还是几何法好，2022高考数学真题分析

魔方中包含了大量的数学元素,其中还原魔方所依据的数学知识是?()

A.统计学

B.组合数学

C.立体几何

D.群论

正确答案：D

构造立体几何法是通过一定形状的基本体素的集合运算来表示的实体造型方法,下面是构造立体几何法基本体素的是()。

A.长方形

B.球

C.柱

D.三角形

正确答案：BC

“物价高一些好还是低一些好”的命题属于实证经济学问题。()

此题为判断题(对，错)。

正确答案：错误

隔热防爆膜到底是深色的好还是浅色的好？

正确答案: 公安部明确规定前档透光率大于70%。就前挡膜而言，当然是透明度越高，同时又很隔热是最理想的。但透光高和隔热高往往又是一对矛盾。就侧后窗而言，如果用透光很高的膜，使膜的隔热率很高的话，在阳光很强的中午、下午时分，坐在车里你仍会感到车外面的光线很刺眼，这就是膜的滤强光的效果不佳所至。因此，选择高透光高隔热的同时，别勿略了滤强光的需要。滤强光也是车膜的一个很重要的功能。所以，两者兼顾起来考虑为佳。

隔热膜到底是深色的好还是浅色的好？

正确答案: 膜的颜色越深，膜的隔热效果越好，这是对汽车膜隔热观念的“误区”。目前的优秀的车膜都是高分子复合材料构成，其透光率和隔热率同膜色的深浅并没绝对的正比关系。好膜的单向透光率和隔热率参数都很高，看起来颜色很浅，效果却很好。一些劣质的染色膜为了掩盖其较差的隔热效果通常做的颜色很深，太深色的膜有可能还影响车主视线，对行车安全造成隐患，也会影响车的美观。

立体几何关于线面夹角或者面面夹角的问题，通常有两种常用的解法，一种是通过建立坐标系，用向量的知识解。这种方法套路性很强，掌握之后，相当于手握一把解决此类问题的万能钥匙。另一种当然是几何法了，找到该夹角，在夹角所在的直角三角形中，利用三角函数的基本概念解决起来，可能更加简便。几何法的主要难点在于找到这个夹角。通常受限于空间想象力，这个夹角都很难被找到。或者找到了，又很难凑足求解的条件。那么底是建系向量法好，还是几何法好呢？其实这个问题并不矛盾的。因为建系向量法，需要找到一个适合建系的点，作为原点，还需要三条“两两互相垂直”的直线，作为空间坐标系的三条轴。因此，我们在找建系的位置时，大可以同时找一找，这个夹角。如果发现这个夹角太难找到，就立即放弃几何法，专心攻破建系向量法。如果夹角很容易找到，又何必去建立坐标系呢？比如下面这道2022高考数学理科全国甲卷的立体几何问题，它的线面夹角就非常容易找到。只是找到了，你未必能意识到，它就是你要找的线面夹角。这是怎么回事呢？我们先来看题吧！在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB, AD=DC=CB=1，AB=2，DP=根号3.(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.分析：(1)运用逆向思维，想要证明BD垂直于PA，可以通过证明BD垂直于平面PAD，而PD垂直于BD，所以只要证明BD垂直于AD就可以了。为此，需要取AB的中点E，并连接CE，DE，就可以得到菱形BCDE，和平行四边形ADCE，从而证明AD垂直于BD了。(2)如果建系的话，就以D为原点，BD为x轴，AD为y轴，PD为z轴。也是挺直接的。不过PD和平面PAB的线面夹角也是很容易找到的。只要取AE的中点F，即AB靠近A点的那个四等分点。连接DF和PF，那么，角DPF就是我们要找的线面夹角。这是因为三角形ADE易证一个等腰三角形，AE是底边，所以DF垂直于AB，又PD垂直于AB，所以AB垂直于平面PDF。只要过D作DG垂直于PF于点G，那么DG就同时垂直于AB，也就垂直于平面PAB，所以角DPF就是PD和平面PAB的线面夹角。因为它符合线面夹角的定义。然而我们并不需要作出DG来，因为三角形PDF是直角三角形，所以我们可以直接求这个线面夹角的正弦值了。证明：(1)取AB的中点E，连接CE，DE，则BE=AE=AB/2=1=CD=CB，又CD//AB,∴四边形BCDE是菱形. 四边形ADCE是平行四边形，∴BD⊥CE，CE//AD,∴BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PD,∴BD⊥平面ADP,又PA⊂平面ADP，∴BD⊥PA.(2)取AE的中点F, 连接DF, PF, 则AF=AE/2=1/2.∠DPF就是PD与平面PAB所成的角.AD=AE=DE=BC=1, ∴DF=根号3 AF=根号3/2.PD⊥DF, ∴PF=根号(PD^2+DF^2)=根号15/2.sin∠DPF=DF/PF=根号5/5.当然，这不表示建系法不重要，两种方法我们都要掌握。老黄再尝试用建系法解一解，看看这道题的两种方法是不是同样简便。(2)方法2：以D为原点，BD为x轴，AD为y轴，PD为z轴建立坐标系，则A(0,1,0), P(0,0,根号3)，设B(b, 0,0)，由根号(b^2+1)=2，解得b=根号3(舍去负值).向量PA=(0,1,-根号3)，向量AB=(根号3,-1,0)，设平面PAB的法向量为：n(x,y,z)，则 y-根号3 z=0,根号3x-y=0.取y=根号3，则z=1, x=1. 【y可以取0之外的任意实数.】向量DP=(0,0,根号3)，记向量n与向量DP的夹角为θ，则cosθ=n*DP/(|n|*|DP|)=根号3/根号(15)=根号5/5.即PD与平面PAB所成的角的正弦值为根号5/5.

水管到底是走吊顶好还是走地面好？各有什么利弊？

正确答案: 走顶好，利于维修，利于发现问题，因为不论多专业的公司施工，都是具体到具体人来操作的，再熟练也有失手的时候，所以将隐患减少到最小是比较好的。

德国数学家康托尔创立了数学上的？（）

A、集合论
B、方程
C、立体几何
D、数列

正确答案:A

构造立体几何法简称CSG法，是一种什么样的方法？

正确答案:是一种通过布尔运算将简单的基本体素拼合成复杂实体的描述方法。

下列不属于我国现行初中数学教学内容（）

A、代数
B、平面几何
C、立体几何
D、概率统计初步

正确答案:C

什么是问题和数学问题？一个好的数学问题应具有哪些特点？数学问题的分类有哪些？

正确答案: （1）问题：可以理解为主体和客体的某种特定的关系状态。当主体有了认识客体的需要，但又不能达到认识状态时，就产生了问题。
（2）数学问题：是一个与数学有关的被意识到但又不能立即达到目的的情景状态。
（3）一个好的数学问题应具有的特点：
①问题的解答包含着明显的数学概念和技巧
②问题能够推广或者扩充到各种情形
③问题有多种不同的解法
（4）数学问题的分类：
①一般数学问题的分类：
A.按数学问题的性质分为：数学家面对的问题和数学学习者面对的问题；
B.从解题方式上数学问题可以分为两大类：求解题和求证题。
②小学数学问题的分类
A.传统的方式将问题分为三类：计算题、文字题和应用题。
B.按问题所涉及的领域可以分为：算术问题、代数问题、空间与图形问题、统计与概率问题。
C.按问题的条件或答案是否固定还可以将数学问题划分为：封闭式问题和开放式问题。

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