自学考试专题:高等教育自学考试网上辅导线性代数(经管类)第2章
A.对称矩阵
B.可逆矩阵
C.n阶矩阵的转置矩阵
D.线性方程组的系数矩阵
ICD-9-CM-3各章的分类轴心是( )。
A、操作类型
B、损伤部位
C、疾病性质
D、解剖系统
E、解剖系统和操作
用初等变换的方法求解上述线性方程组。
答案:
第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容,也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中,所占比例是各章之最。按考试大纲的规定,第二章占26分左右。而由于第三,四,五,六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具,故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例,看下表按考试大纲所占分数07.407.707.10直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。2.1线性方程组和矩阵的定义2.1.1线性方程组n元线性方程组的一般形式为 特别若,称这样的方程组为齐次方程组。称数表为该线性方程组的系数矩阵;称数表为该线性方程组的增广矩阵。事实上,给定了线性方程组,就惟一地确定了它的增广矩阵;反过来,只要给定一个m(n+1)阶矩阵,就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数,m个方程的线性方程组。例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组 【答疑编号12020102】2.1.2矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表 为mn阶矩阵,也可记为为矩阵A第i行,第j列的元素。 注意:矩阵和行列式的区别。二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵,记为O。例如都是零矩阵。2.若A的行数m=1,则称 为行矩阵,也称为n维行向量。若A的列数n=1,则称为列矩阵,也称为m维列向量。3.若矩阵A的行数=列数=n,则称矩阵A为n阶方阵,或简称A为n阶阵。如n个未知数,n个方程的线性方程组的系数矩阵。4.称n阶方阵为n阶对角阵。特别若上述对角阵中,称矩阵为数量矩阵,如果其中=1,上述数量阵为,称为n阶单位阵。5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。2.2矩阵的运算 这节介绍(1)矩阵运算的定义,特别要注意,矩阵运算有意义的充分必要条件;(2)矩阵运算的性质,要注意矩阵运算与数的运算性质的异同,重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。2.2.1矩阵的相等为建立矩阵运算的概念,先说明什么叫两个矩阵相等。定义2.2.1如果矩阵A,的阶数相同,即行数、列数都相同,则称矩阵与B同型;若A与B同型,且对应元素都相等,则称矩阵A与B相等,记为A=B。请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等例如 虽然行列式有但矩阵;。2.2.2矩阵的加减法 定义2.2.2 设A与B都是mn阶矩阵(即A与B同型),则矩阵A与B可以相加(相减),其和(差)定义为mn阶矩阵 例1设求A+B、A-B。【答疑编号12020103】例2则A与B不能相加(减),或说AB无意义。 加法运算的性质设A,B,C都是mn阶矩阵,O是mn阶零矩阵,则1.交换律 A+B=B+A。2.结合律 (A+B)+C=A+(B+C)。3.负矩阵 对于任意的mn阶矩阵定义,显然A+(-A)=O;A-B=A+(-B)。2.2.3数乘运算定义2.2.3 数与矩阵A的乘积记作A或A,定义为 例3 设,求3A。 【答疑编号12020104】解例4 设,求3A-2B。 【答疑编号12020105】例5 已知,求2A-3B。 【答疑编号12020106】数乘运算满足:1.1A=A2.设k,l是数,A是矩阵,则k(lA)=(kl)A3.分配律 k(A+B)=Ka+kB;(k+l)A=kA+lA例6 已知,且A+2X=B,求X。2.2.4矩阵的乘法先介绍矩阵乘法的定义,后面再介绍为什么这样定义乘法。一、定义定义2.2.4 设矩阵,(注意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个mn阶矩阵,其中(i=1,2,m,j=1,2, n)可见,矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数B的行数,乘积矩阵C=AB的行数=A的行数;其列数=B的列数。例如则A,B可以相乘,其乘积其中例7设矩阵【答疑编号12020201】问BA有意义吗?无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数,所以BA无意义。例8(1)设矩阵(2)求AB;BA【答疑编号12020202】此例说明 AB,BA虽然都有意义,但两矩阵不同型,当然不相等。例9设矩阵,求AB,BA。【答疑编号12020203】为什么这样定义乘法?考虑线性方程组设,则,于是线性方程组(1)就可以写成矩阵形式AX=b。这表明,应用这种方法定义矩阵乘法,可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式,使整个的讨论变得简单了。二、性质(1)乘法没有交换律,AB不一定等于BA。(2)结合律 (AB)C=A(BC) (3)分配律 (A+B)C=AC+BC;A(B+C)=AB+AC (4)数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)(5)单位矩阵的作用。另一部分的证明请同学们自己作。但对于某些特殊的矩阵(方阵)满足AB=BA,我们称它们是乘法可交换的,例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换。例10 设矩阵,求出所有与A乘积可交换的矩阵。【答疑编号12020204】2.2.5方阵的幂设A是一个矩阵,何时有意义?当且只当A为n阶方阵时,有意义。这时,对k2定义称为A的k次幂。例11 数学归纳法证明【答疑编号12020301】(2)【答疑编号12020302】对于数,幂的运算有下列性质:(1)同底幂相乘,指数相加。即;(2);(3)对于方阵的幂有下列性质:(1)。对于数,为什么所以对于n阶方阵不一定等于。根据矩阵乘法和方阵幂的性质,数的乘法公式有下面的变化:一般不等于。一般不等于。这些变化的原因就在于矩阵乘法没有交换律。但对于某些特殊的矩阵满足AB=BA,例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换,所以请思考例12 设求。【答疑编号12020303】例13 设,求。【答疑编号12020304】例14 设。【答疑编号12020305】小结 矩阵乘法和数的乘法性质的区别:(1)矩阵乘法没有交换律,由此引出乘法公式:如,不一定等于等公式的变化;(2)对于矩阵:两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵;(3)对于方阵,可能可能,(4)不一定等于。2.2.6矩阵的转置一、定义定义2.2.5设。将其行列互换,所得的矩阵记为称它为A的转置,即显然,mn阶矩阵A的转置是nm阶。二、性质1.;2.;3.;现看下面的例例15 设,求;问哪个有意义,若有意义,求它的乘积矩阵。【答疑编号12020306】解没有
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