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专题23 利用导数证明不等式一、多选题 1已知函数，数列的前n项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）ABCD2下列不等式正确的是（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，3已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）ABC是R上的增函数D，则有二、解答题4已知函数，若最小值为0.（1）求实数的值；（2）设，证明：.5已知函数，.（1）当时，求函数的最大值；（2）设，当，且，求证：.6已知函数，其中为自然对数的底数（1）当时，证明：；（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围7已知，当时恒成立（1）求实数的取值范围；（2）当时，求证：8已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：.9已知函数.(1)若只有一个极值点，求的取值范围.(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.10函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当，时，证明：.11已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，求证：12函数.（1）若，求的单调性；（2）当时，若函数有两个零点，求证：.13已知函数（1）试讨论的单调性；（2）若，证明：14已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若对任意恒有不等式成立.求实数的值；证明：.15已知a0，函数（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；（2）当x1时，求证：（e2.718）16已知函数，.（1）判断函数的单调性；（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；（3）证明：.17已知函数.（1）求证：；（2）函数，有两个不同的零点，.求证：.18已知函数，.（1）若函数在区间内是增函数，求的取值范围；（2）证明：.19已知函数.（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.20（1）当时，求证：；（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；（3）设a0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.专题23 利用导数证明不等式一、多选题 1已知函数，数列的前n项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）ABCD【答案】AB【分析】A计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C根据与的大小关系进行判断；D构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.【详解】A选项，A正确；B选项，因为，所以当时，所以单增，所以，因为，所以，所以，B正确；C选项，因为，所以，C错误；D选项，令，所以在单调递增，所以，所以，则，所以，即，所以，所以D错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.2下列不等式正确的是（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】ABC【分析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A：设，则，令，解得，当时函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在时，函数取得最小值，故当时，故A正确；对于B：设，所以，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以在时，（1），故当时，恒成立，故B正确；对于C：设，所以，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，（1），所以当时，故C正确；对于D：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数，所以时，成立，时，故D错误故选：ABC3已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）ABC是R上的增函数D，则有【答案】AD【分析】由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.【详解】由，得，即，所以函数为增函数，故，所以，故A正确，B不正确；函数为增函数时，不一定为增函数，如是增函数，但是减函数，所以C不正确；因为函数为增函数，所以时，有，故有成立，所以D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.二、解答题4已知函数，若最小值为0.（1）求实数的值；（2）设，证明：.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【分析】（1）由，得，讨论当时，无最小值.当时， ，由可得答案得；（2）由（1）可知，可得，由（1）可知，即，进而可得结论.【详解】（1）由已知，定义域为.由，得.当时，在单调递增无最小值.当时，；，.故，令，.，；，所以由，得.（2）由（1）可知，此时等价于，由（1）可知当时，.故，即.所以，故.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.5已知函数，.（1）当时，求函数的最大值；（2）设，当，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）当时，由的单调性得出函数的最大值；（2）由函数的单调性结合零点个数得出，结合分析法要证，只需证，由函数在上存在唯一零点证明，由函数在上存在唯一零点证明，从而得出.【详解】解1）当时，.当时，；当时，.函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由题可知，是函数的零点.当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减故函数要有两个零点，必有，即.要证，只需证只需证 由于，函数在上存在唯一零点即. 由（1）知，所以，且当时，取等号函数在上存在唯一零点即. 由可知成立，故.【点睛】求解本题第（2）问的关键是根据题中条件将证明转化为证明，然后利用零点存在定理即可求解.6已知函数，其中为自然对数的底数（1）当时，证明：；（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）构造函数，证明最小值大0即可得解；（2）先求导可，分，和进行讨论即可得解.【详解】（1）设，在上单调递增，又，时，在上单调递增，又，时，故当时，（2），当时，易知函数只有一个零点，不符合题意当时，在上，单调递减；在上，单调递增；又，不妨取且时，或者考虑：当，所以函数有两个零点，符合题意，当时，由得或（）当，即时，在上，成立，故在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不符合题意（）当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减；又，且，所以函数至多有一个零点，不符合题意（）当即时，在和上，单调递增；在上，单调递减，以，所以函数至多有一个零点，不符合题意综上所述，实数的取值范围是【点睛】本题考查了导数的应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造法证明不等式以及分类讨论求参数范围，要求较高的计算能力，属于难题.解决本类问题的方法有以下几点：（1）证明题常常利用构造法，通过构造函数来证明；（2）分类讨论解决含参问题，是导数压轴题常考题型，在讨论时重点是找到讨论点.7已知，当时恒成立（1）求实数的取值范围；（2）当时，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）移项构造函数，求导后分类讨论.（2）利用（1）的结论构造新函数，求导后构造新函数再求导寻找极值点即可.【详解】（1）即恒成立，令，则当时，则在是增函数，成立当时，使，为减函数，为增函数所以不合题意所以（2）由（1）得当时，所以要证只要证即证：，设，所以在是增函数，所以存在使故时，则为减函数，时则为增函数，所以时，故命题成立【点睛】此题为导数综合题，属于难题.方法点睛：利用导数求参数范围方法：（1）变量分离，构造函数，转化为恒成立问题处理，求导数进步求新函数的最值.（2）移项后，构造函数，求导讨论函数的单调性及极值.8已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求导得到，从而得到，再利用点斜式求切线方程即可.（2）首先求导得到，根据在上单调递增，且，且，得到存在唯一，使得，再根据函数的单调性得到，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）当时，.，又，在点处的切线方程为，即.（2），易知在上单调递增，且，又，存在唯一，使得，即.当时，为减函数；当时，为增函数.当且仅当，即时，等号成立.当时，.【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键为找到导函数的隐藏零点，属于中档题.9已知函数.(1)若只有一个极值点，求的取值范围.(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，令，则.令，解不等式组即得解；（2）只需证，设，函数，证明即得证.【详解】(1)解：，令，则.令，要使函数只有一个极值点，则需满足，即；(2)证明：因为，所以，因为存在两个极值点，所以即 不妨假设，则 要证，即要证，只需证， 只需证，即证 设，函数， 因为，故，所以，即，故在上单调递减，则 又因为，所以，即，从而得证.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率.10函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当，时，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）由得到 求导由， 求解. （2）求导，分，讨论求解.【详解】（1）当时， ，.所以当时，；当时，.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）因为，所以.当，时，恒成立，所以单调递增，所以，而，所以恒成立；，时，由可得；由可得.所以在单调递减，

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