2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准

新生儿重度窒息的Apgar评分标准为（）

A、0～1分
B、0～4分
C、0～5分
D、0～3分
E、0～7分

正确答案:D

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C、0～5分
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E、0～7分

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B、0～4分
C、0～5分
D、0～3分
E、0～7分

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B、0～4分
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D、0～3分
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D、0～3分
E、0～7分

正确答案:D

2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准 .第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数 . 第一试 (A) 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1 已知实数 ,abc满足 2 13 3 90a b c ， 3 9 72a b c ，则 3 2bcab （） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 【答】 B. 已知等式可变形为 2 ( 2 ) 3 (3 ) 9 0a b b c ， 3 ( 2 ) (3 ) 7 2a b b c ，解得 2 18ab， 3 18bc ，所以 3 2bcab 1. 2 已知 ABC 的三边长分别是 ,abc，有以下三个结论：（ 1）以 ,abc为边长的三角形一定存在；（ 2）以 2 2 2,abc为边长的三角形一定存在；（ 3）以 | | 1, | | 1, | | 1a b b c c a 为边长的三角形一定存在 . 其中正确结论的个数为（） A 0 B 1 C 2 D 3 【答】 C. 不妨设 abc ，则有 b c a . （ 1）因为 b c a ，所以 2b c bc a ，即 22()b c a（），即 b c a ，故以 ,abc为边长的三角形一定存在；（ 2）以 2, 3, 4a b c 为边长可以构成三角形，但以 2 2 24, 9, 16a b c 为边长的三角形不存在；（ 3）因为 abc ，所以 | | 1 1 , | | 1 1 , | | 1 1a b a b b c b c c a a c ，故三条边中 | | 1ca 大于或等于其余两边，而 | | 1 | | 1 1 1a b b c a b b c （）（）（）（）1 1 1 | | 1a c a c c a = ，故以 | | 1ab， | | 1bc， | | 1ca为边长的三角形一定存在 . 3 若正整数 ,abc满足 abc 且 2( )abc a b c ，则称 ( , , )abc 为好数组 .那么，好数组的个数为（） A. 1 B 2 C 3 D 4 【答】 C. 若 ( , , )abc 为好数组，则 2 ( ) 6abc a b c c ，所以 6ab .显然， a 只能为 1 或 2. 若 a 2，由 6ab 可得 2b 或 3， 2b 时可得 4c ， 3b 时可得 52c （不是整数）；若 a 1，则 2(1 )bc b c ，于是可得 ( 2)( 2) 6bc ，可求得 ( , , )abc （ 1， 3， 8）或（ 1， 4， 2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 7 页） 5） . 综合可知：共有 3 个好数组，分别为（ 2， 2， 4），（ 1， 3， 8）和（ 1， 4， 5） . 4 设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 的交点，若 180BAD ACB ，且 3BC ， 4AD ， 5AC ， 6AB ，则 DOOB （） A. 109 B. 87 C. 65 D. 43 【答】 A. 过 B 作 /BE AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 180ABE BAD ACB ，所以 ABC AEB ，所以 AC BCAB EB ，所以 6 3 1 855A B B CEB AC . 再由 /BE AD ，得 4 1 0 18 95D O A DO B B E . 5 设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点， AD BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，满足 BAF CAE .已知 15BC ， 6BF ， 3BD ，则 AE （） A.43 B.213 C.214 D.215 【答】 B. 如图，因为 BAF CAE ，所以 B A F B A E C A E B A E ，即 90FAE BAC . 又因为 AD BC ，故 2AD DE DF DB DC . 而 6 3 9DF BF BD ， 1 5 3 1 2DC BC BD ，所以 2 9 3 12AD DE ，所以 6AD ， 4DE . 从而 2 2 2 26 4 2 1 3A E A D D E . 6 对于正整数 n ，设 na 是最接近 n 的整数，则 1 2 3 2 0 0 1 1 1 1a a a a （） A. 1917 B. 1927 C. 1937 D. 1947 【答】 A. 对于任意自然数 k ， 2211()24k k k 不是整数，所以，对于正整数 n ， 12n 一定不是整数 . 设 m 是最接近 n 的整数，则 1|2mn， 1m . 易知：当 1m 时， 1|2mn 2211( ) ( )m n m 221144m m n m m . 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 221m m n m m 时， m 是最接近 n 的整数，即 nam .所以，使得 na m 的正整数 n 的个数为 2m . 注意到 221 3 1 3 1 8 2 2 0 0 1 4 1 4 2 1 0 ，因此， 1 2 200, , ,a a a 中，有： 2 个 1， 4 个 2， 6 个 3， 2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 7 页） E O C BA D A CB F D E 8 个 4， 26 个 13， 18 个 14. 所以 1 2 3 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 12 4 6 2 6 1 81 2 3 1 3 1 4 7a a a a . 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1 使得等式 311aa 成立的实数 a 的值为 _ 【答】 8 . 由所给等式可得 32(1 1 )aa . 令 1xa，则 0x ，且 2 1ax，于是有 3 2 2(1 ) ( 1)xx ，整理后因式分解得 2( 3)( 1) 0x x x ，解得 1 0x ， 2 3x ， 3 1x （舍去），所以 1a 或 8a . 验证可知： 1a 是原方程的增根， 8a 是原方程的根 . 所以， 8a . 2 如图，平行四边形 ABCD 中， 72ABC ， AF BC 于点 F ， AF 交 BD 于点 E ，若 2DE AB ，则 AED _ 【答】 66

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