若n个顶点的简单无向图G的边数e=n−1，则G一定是树.
若n个顶点的简单无向图G的边数e=n−1，则G一定是树.
参考答案和解析
[证明]用反证法，设图G不是连通图，不妨设图G有两个连通分支G 1 和G 2 构成，其中G 1 含有k个顶点(1≤k＜n)，G 2 含有2n-k个顶点。在连通分支G 1 中任取一点v 1 ，在连通分支G 2 中任取一点v 2 。由于图G是简单图，所以G 1 和G 2 也是简单图，于是有 deg(v 1 )≤k-1 deg(v 2 )≤2n-k-1由此可得 deg(v 1 )+deg(v 2 )≤k-1+2n-k-1=2n-2 但假设图G中每个顶点的度数至少为n，因此 deg(v 1 )+deg(v 2 )≥2n由此引出矛盾，本题得证。
相关考题：
● 若无向连通图 G 具有 n个顶点，则以下关于图 G的叙述中，错误的是（43）。（43）A.G 的边数一定多于顶点数B.G 的生成树中一定包含 n个顶点C.从 G 中任意顶点出发一定能遍历图中所有顶点D.G 的邻接矩阵一定是n阶对称矩阵
设G是n个顶点的无向简单图,则下列说法不正确的是() A、若G是树，则其边数等于n-1B、若G是欧拉图，则G中必有割边C、若G中有欧拉路，则G是连通图，且有零个或两个奇度数顶点D、若G中任意一对顶点的度数之和大于等于n-1，则G中有汉密尔顿路
若无向连通图G具有n个顶点，则以下关于图G的叙述中，错误的是( )。A．c的边数一定多于顶点数B．G的生成树中一定包含n个顶点C．从c中任意顶点出发一定能遍历图中所有顶点D．G的邻接矩阵一定是n阶对称矩阵
下列命题正确的是(58)。A．G为n阶无向连通图，如果G的边数m≥n-1，则G中必有圈B．二部图的顶点个数一定是偶数C．若无向图C的任何两个不相同的顶点均相邻，则G为哈密尔顿图D．3-正则图的顶点个数可以是奇数，也可以是偶数
填空题如果无向图G有n个顶点，那么G的一棵生成树有且仅有（）条边。