简述偏微分方程的应用及来源
简述偏微分方程的应用及来源
参考答案和解析
齐次线性偏微分方程的特征方程为 ,有首次积分y=-2x 2 +c.故偏微分方程的解为 z=Ф(y+2x 2 ), 其中Ф为变元的任意连续可微函数.$非齐次拟线性偏微分方程的特征方程为 ,有首次积分 ,tanz=-ctanx+c 1 和 , ,2y-sec 2 z=c 2 .两个首次积分相互独立,得偏微分方程的通解为 Ф(tanz+ctanx,2y-sec 2 x)=0, 其中Ф为变元的任意连续可微函数.$非齐次拟线性偏微分方程的特征方程为 ,有首次积分 ,xy=c 1 及 ,y 2 dy=c 1 dz,y 3 =3c 1 z+c 2 =3xyz+c 2 ,两个首次积分相互独立,得方程的通解为 其中 为变元的任意连续可微函数.上式当 时亦可表为 , 其中 ,Ψ为变元的任意连续可微函数. 实际上,因第2首次积分有 ,两个首次积分有关系c 2 =Ф(c 1 )时得
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