R是集合A上的全域关系，那么R的关系矩阵形如（）。A．关系矩阵中元素的值都是0。B．关系矩阵中元素的值都是1。C．关系矩阵中对角线元素的值都是1。D．关系矩阵中对角线元素的值都是0。
R是集合A上的全域关系，那么R的关系矩阵形如（）。
A．关系矩阵中元素的值都是0。
B．关系矩阵中元素的值都是1。
C．关系矩阵中对角线元素的值都是1。
D．关系矩阵中对角线元素的值都是0。
参考答案和解析
命题为真．事实上可以证明，若R在A上是自反的、对称的或可传递的，则R'在A'上也分别是自反的、对称的或可传递的． 设R是自反的．对任意a∈A'，则a∈A，因为R是自反的，所以〈a，a〉∈R，又〈a，a〉∈A'×A'，所以〈a，a〉∈(R∩(A'×A'))，即〈a，a〉∈R'，故R'是自反的． 设R是对称的．对任意a，b∈A'，若〈a，b〉∈R'，则〈a，b〉∈R且〈a，b〉∈A'×A'．因为R是对称的，所以〈b，a〉∈R，又显然〈b，a〉∈A'×A'，所以〈b，a〉∈(R∩(A'×A'))，即〈b，a〉∈R'．故R'是对称的． 设R是可传递的．对任意a，b，c∈A'，若〈a，b〉∈R'，〈b，c〉∈R'，则〈a，b〉∈R，〈a，b〉∈A'×A'，〈b，c〉∈R，〈b，c〉∈A'×A'．因为R是可传递的，所以〈a，c〉∈R，又显然〈a，c〉∈A'×A'，所以〈a，c〉∈(R∩(A'×A'))，即〈a，c〉∈R'，故R'是可传递的． 由以上证明可知，若R是A上的等价关系，则R'就是A'上的等价关系．$命题为真．在题(1)中已经证明，若R是A上的自反、传递关系，则R'是A'上的自反、传递关系．下面证明，若R是A上的反对称关系，则R'是A'上的反对称关系． 设R是反对称的，对任意a，b∈A'，若〈a，b〉∈R'，〈b，a〉∈R'，则〈a，b〉∈R，〈b，a〉∈R．因为R是反对称的，所以a=b，故R'是反对称的． 因此，若R是A上的偏序关系，则R'是A'上的偏序关系．$命题为真．在题(1)中已经证明，若R具有传递性，则R'也具有传递性．所以只需证明，若R具有反自反性，则R'也具有反自反性． 设R具有反自反性，假若R'不具有反自反性，则存在a∈A'，使得〈a，a〉∈R'，而 ，所以〈a，a〉∈R，这与R具有反自反性矛盾，故R'具有反自反性． 因此，若R是A上的拟序关系，则R'也是A'上的拟序关系．$命题为真．设R是A上的线序关系。则R是A上的偏序关系，且A中任两个元素都有关系．由题(2)知，R'应是A'上的偏序关系．对于任意的a，b∈A'．因为 ，所以a，b∈A．因此〈a，b〉∈R或〈b，a〉∈R(注意，R是偏序关系，所以只能有一种情况成立)．又〈a，b〉∈A'×A'，〈b，a〉∈A'×A'，所以得到〈a，b〉∈R∪(A'×A')=R'或〈b，a〉∈R'．这说明A'中任两个元素都有关系R'，故R'是A'上的线序关系．$命题为真．设R是A上的良序关系，则R是A上的偏序关系，且A的每一个非空子集都存在最小元素．由题(2)知，R'应是A'上的偏序关系．又设任意的 且S≠ ，因为 ，所以 ，即S是A的非空子集，所以S关于R存在最小元素a，因此对任意的x∈S，有〈a，x〉∈R，又a，x∈A'，所以〈a，x〉∈A'×A'．因此〈a，x〉∈R∩(A'×A')=R'，即a也是S关于R'的最小元素．这说明A'中的任意非空子集都存在最小元素．故R'是良序关系．
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