《多边形的内角和》是八年级上册的内容,如何引导学生发现和推导出多边形内角和公式是该节课的重点。(1)如果将让学生体验“数学思考”作为该节课的一项教学目标,那么请列出该节课涉及的“数学思考的方法”;(2)请给出两种引导学生猜想四边形内角和的学生活动设计;(3)请列出两种证明四边形内角和的学生活动设计;(4)某教师在《多边形的内角和》一节的教学中,设计了如下两个问题,你能说出我们为什么要研究四边形的内角和吗?你能基于四边形的内角和的证法,得到五边形、六边形,……,n边形内角和计算公式和证明方法吗?请分析该教师设计这两个问题的意图。
《多边形的内角和》是八年级上册的内容,如何引导学生发现和推导出多边形内角和公式是该节课的重点。
(1)如果将让学生体验“数学思考”作为该节课的一项教学目标,那么请列出该节课涉及的“数学思考的方法”;
(2)请给出两种引导学生猜想四边形内角和的学生活动设计;
(3)请列出两种证明四边形内角和的学生活动设计;
(4)某教师在《多边形的内角和》一节的教学中,设计了如下两个问题,你能说出我们为什么要研究四边形的内角和吗?你能基于四边形的内角和的证法,得到五边形、六边形,……,n边形内角和计算公式和证明方法吗?请分析该教师设计这两个问题的意图。
(1)如果将让学生体验“数学思考”作为该节课的一项教学目标,那么请列出该节课涉及的“数学思考的方法”;
(2)请给出两种引导学生猜想四边形内角和的学生活动设计;
(3)请列出两种证明四边形内角和的学生活动设计;
(4)某教师在《多边形的内角和》一节的教学中,设计了如下两个问题,你能说出我们为什么要研究四边形的内角和吗?你能基于四边形的内角和的证法,得到五边形、六边形,……,n边形内角和计算公式和证明方法吗?请分析该教师设计这两个问题的意图。
参考解析
解析：(1)数学课程标准中关于“数学思考”的其中一条是:在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中,发展合情推理和演绎推理能力,清晰地表达自己的想法。而本节课所涉及的“数学思考的方法”是学生在参与四边形、五边形、六边形的内角和的探究过程中,猜想多边形的内角和是(n-2)×180°,然后通过添加辅助线(对角线)等方法证明此结论,并让学生说出自己的探究过程,最后用数学语言表示出多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)×180°。
(2)第一种:
如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和,进而发现:只需连接一条对角线,即可将一个四边形分割为两个三角形。学生说出证明过程,教师板书。
追问1:这里连接对角线起到什么作用?
预设:将四边形分割成两个三角形,进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角的和的问题。
追问2:类似地,你能知道五边形、六边形的内角和是多少度吗?
问题:你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发,猜想多边形的内角和与边数的关系(n-2)×180°。
第二种:
提问:前面我们通过从一个顶点出发作对角线,将多边形分割成几个三角形,进而探究出n边形的内角和,那么,是否还有其他分割多边形的方法呢?
学生活动:学生自主探究,小组讨论交流。学生可能会在n边形内任取一点O,连接OA1,OA2,OA3,……,OAn,则n边形被分成了n个三角形,从而才猜想出多边形的内角和是(n×180°-360°)即(n-2)×180°。
(3)方法一:先让学生回忆多边形的对角线的求法:从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线。它们将n边形分成(n-2)个三角形,这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和,由于一个三角形的内角和是180°,所以n边形的内角和等于(n-2)×180°。
方法二:前面我们通过从一个顶点出发作对角线,将多边形分割成几个三角形,进而探究出n边形的内角和,那么,是否还有其他分割多边形的方法呢?
学生活动:学生自主探究,小组讨论交流。并让小组代表板演并讲解思路。学生可能有以下几种方法:
如图,在n边形内任取一点O,连接OA1,OA2,OA3,……,OAn,则n边形被分成了n个三角形,这n个三角形的内角和为n×180°,以O为公共顶点的n歌角的和是360°,所以n边形的内角和是(n×180°-360°)即(n-2)×180°
(4)问题一设计意图:采取简单的四边形进行瘾大,利于学生迅速掌握知识,学生利用辅助线多角度的把多边形的内角和灵活地转化成三角形的内角和,体会转化的数学思想,并为下面五边形、六边形以及n边形的内角和做铺垫。
问题二设计意图:引导学生动手操作、动脑思考、小组讨论,从四边形到五边形再到六边形,以知识迁移的方式进一步体会将多边形分割成几个三角形的化归过程。也进一步明确了边数、对角线条数、三角形数对多边形内角和的影响,为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究奠定基础。
(2)第一种:
如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和,进而发现:只需连接一条对角线,即可将一个四边形分割为两个三角形。学生说出证明过程,教师板书。
追问1:这里连接对角线起到什么作用?
预设:将四边形分割成两个三角形,进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角的和的问题。
追问2:类似地,你能知道五边形、六边形的内角和是多少度吗?
问题:你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发,猜想多边形的内角和与边数的关系(n-2)×180°。
第二种:
提问:前面我们通过从一个顶点出发作对角线,将多边形分割成几个三角形,进而探究出n边形的内角和,那么,是否还有其他分割多边形的方法呢?
学生活动:学生自主探究,小组讨论交流。学生可能会在n边形内任取一点O,连接OA1,OA2,OA3,……,OAn,则n边形被分成了n个三角形,从而才猜想出多边形的内角和是(n×180°-360°)即(n-2)×180°。
(3)方法一:先让学生回忆多边形的对角线的求法:从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线。它们将n边形分成(n-2)个三角形,这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和,由于一个三角形的内角和是180°,所以n边形的内角和等于(n-2)×180°。
方法二:前面我们通过从一个顶点出发作对角线,将多边形分割成几个三角形,进而探究出n边形的内角和,那么,是否还有其他分割多边形的方法呢?
学生活动:学生自主探究,小组讨论交流。并让小组代表板演并讲解思路。学生可能有以下几种方法:
如图,在n边形内任取一点O,连接OA1,OA2,OA3,……,OAn,则n边形被分成了n个三角形,这n个三角形的内角和为n×180°,以O为公共顶点的n歌角的和是360°,所以n边形的内角和是(n×180°-360°)即(n-2)×180°
(4)问题一设计意图:采取简单的四边形进行瘾大,利于学生迅速掌握知识,学生利用辅助线多角度的把多边形的内角和灵活地转化成三角形的内角和,体会转化的数学思想,并为下面五边形、六边形以及n边形的内角和做铺垫。
问题二设计意图:引导学生动手操作、动脑思考、小组讨论,从四边形到五边形再到六边形,以知识迁移的方式进一步体会将多边形分割成几个三角形的化归过程。也进一步明确了边数、对角线条数、三角形数对多边形内角和的影响,为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究奠定基础。
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“多边形的内角和”是八年级上册的内容，如何引导学生发现和推导出多边形内角和公式是该节课的重点。（１）如果将让学生体验“数学思考”作为该节课的一项教学目标，那么请列举出该节课涉及的“数学思考”的方法；（10分）（２）请给出两种引导学生猜想四边形内角和的学生活动设计；（６分）（３）请给出两种证明四边形内角和的学生活动设计；（６分）（４）某教师在“多边形的内角和”一节的教学中，设计了如下两个问题：你能说出我们为什么要研究四边形的内角和吗？你能基于四边形内角和的证法，得到五边形、六边形，……，ｎ边形内角和计算公式和证明方法吗？请分析该教师设计这两个问题的意图。（８分）
在“多边形内角和”一课上，某教师设计如下的教学过程： 一、学生自主学习，通过阅读课本理解多边形的定义及相关概念 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可。 2．多边形的分类：有凸多边形和凹多边形之分。 3．多边形的相关概念：边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同。 4．多边形的命名和表示：通常以边数命名，多边形有n条边就叫做／l,边形。三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形。多边形的表示方法与三角形、四边形类似。可以用表示它的顶点的字母来表示，可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示。 二、探索多边形的内角和的公式(见活动探究卡) 在了解了多边形的有关概念后，我们重点来研究和探索多边形的内角和的公式。 活动探究要求：请以小组为单位，利用活动探究卡与同伴合作探索多边形的内角和。 活动：从多边形的一个顶点引对角线来探索多边形的内角和 边数 从某顶点出发的对角线条数划分成的三角形个数 多边形的内角和 计算规律 3 4 5 6 7 8 结论：④从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，把H边形分成个三 角形，每个三角形的内角和 ②n边形的内角和公式： (n>3)(学生讨论、画图、猜想、归纳自己的方法，并请小组的中心发言人在全班进行交流展,教师利用课件演示，师生共同得到结论) 教师小结：在求多边形的内角和时，先把多边形转化成三角形，进而求出内角和．这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法。 阅读上述教学设计片段，完成下列任务： (1)本节课的教学目标是什么 (8分) (2)本节课的教学重难点是什么 (8分) (3)请为此教学片段设计一个导入过程。(14分)
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